初中理科知识点树
初中学段数学/物理/化学的知识点树（knowledge_points），源：北大 K12-KGraph（人教教材 + 专家复核）。
四层：学科 → 册 → 章 → 知识点。打标候选只取叶子，标「待审」的暂不参与。
这一版做了什么
把 kp_ref（外部候选词表）收敛成一棵固定的树，每个叶子记回它的来源（kp_ref_map），
以后换词表只重建树、不动题目。
三条规矩：① 不臆造名字 —— 源里叫什么就是什么，只有「0」这种按它自己的定义改成了「0 的意义」；
② 超纲或错抽的标「待审」、不参与打标，但不删（可回溯）；③ 同一概念在不同章重复出现时，
按它所属的册归位（「相反数」归七上第一章，不是七下「实数」）。
已知要处理：化学 914 个叶子对标注来说偏细（9 上就 516 个），第 3 步做化学时要么按「单元→课题」限候选，
要么再聚合一层。
数学558 个知识点
七年级上册4 章 · 101 点
第一章 有理数37
- 利用数轴理解加减法通过在数轴上表示运动方向与对应数值变化，理解有理数加减运算的意义。
- 利用符号与绝对值分离进行运算先判断积或商的符号，再运算绝对值部分。
- 四舍五入法根据指定位数，对数字进行四舍五入以得到近似数的方法。
- 在数轴上表示数根据原点、方向和单位长度，将正数、负数、分数、小数准确定位到数轴上。
- 比较有理数大小通过数轴、符号、绝对值等方法，对有理数进行大小比较。
- 用正负数表示实际问题中的相反量根据量的方向或意义（如增减、收入支出、上升下降）选择用正数或负数表达。
- 运算律综合应用在乘法和加法混合运算中合理使用交换律、结合律、分配律以简化计算。
- 正数大于0的数叫做正数。有时为了明确意义，也可以在前面加“+”号。
- 负数在正数前加上“−”号的数叫做负数，用来表示相反意义的量，如减少、亏损等。
- 0 的意义待审0既不是正数，也不是负数，用来表示没有变化或数量为零。
- 符号（+/-）一个数前面的“+”“−”号叫做它的符号，用于表示量的方向或意义。
- 相反意义的量在一个问题中出现方向或意义相反的量时，可用正数和负数分别表示这些量。
- 有理数整数和分数统称为有理数，包括正整数、零、负整数以及正分数、负分数。
- 整数正整数、0、负整数统称为整数。
- 数轴用一条直线表示数的大小和顺序的工具，规定原点、方向和单位长度。
- 原点数轴上表示0的点，是数轴的基准点。
- 相反数互为相反的两个数，它们的数轴位置关于原点对称，如a与-a。
- 绝对值数在数轴上与原点的距离。正数绝对值是本身，负数是其相反数，0的绝对值为0。
- 有理数的大小比较在数轴上左边的数小于右边的数；正数>0>负数；比较负数大小时绝对值大的反而小。
- 有理数的加法在有理数范围内，根据数的符号和绝对值进行的加法运算，包括同号相加、异号相加、与0相加等情况。
- 同号两数相加法则两个符号相同的有理数相加，结果符号不变，绝对值相加。
- 异号两数相加法则两个符号相反的有理数相加，结果的符号与绝对值较大的加数相同，绝对值为两数绝对值之差。
- 相反数相加为零互为相反数的两个数相加，结果等于0。
- 有理数的减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b)。
- 加减混合运算的统一通过引入相反数，有理数的加减混合运算可以统一为加法运算。
- 有理数乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。
- 负数乘负数负数乘负数，积为正数，积的绝对值等于各乘数绝对值的积。
- 负因数个数与积的符号的关系几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
- 有理数除法法则除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
- 乘方求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方，记作 a^n。
- 幂乘方运算得到的结果叫做幂，如 a^n 表示 a 的 n 次幂。
- 底数在 a^n 中，a 叫做底数。
- 指数在 a^n 中，n 叫做指数，表示因数 a 出现的个数。
- 负数幂的奇偶性规律负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
- 科学记数法把一个大于等于1且小于10的数 a 与 10^n 相乘来表示大数或小数的书写方式。
- 近似数与准确数接近但不完全相同的数，用于表达估计值。
- 精确度近似数与准确数之间接近程度的度量，如精确到某一位。
第二章 整式的加减13
- 利用同类项化简多项式通过识别同类项并运用分配律，合并多项式中的同类项以化简表达式。
- 多项式求值将字母的值代入多项式，常先化简后求值以简化计算。
- 用字母表示数量关系根据实际情境将数量关系转化为含字母的代数式。
- 单项式由数或字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也属于单项式。
- 单项式的系数单项式中数字因数叫做这个单项式的系数。
- 单项式的次数单项式中所有字母的指数的和称为该单项式的次数；非零常数的次数规定为0。
- 多项式几个单项式的和叫做多项式。
- 多项式的项与常数项多项式中每个单项式叫做项，不含字母的项叫做常数项。
- 多项式的次数多项式里次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。
- 整式单项式与多项式统称为整式。
- 同类项所含字母相同且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。
- 合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母及其指数保持不变。
- 分配律在整式中的应用整式中由于字母表示数，因此可以使用分配律进行化简，如合并同类项与去括号。
第三章 一元一次方程23
- 一元一次方程求解流程按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤依次化简方程，最终求得未知数。
- 从数量关系建立方程根据“总量=部分量之和”或“两个表示同一量的式子相等”等相等关系列出方程。
- 列方程解决实际问题从实际问题中分析数量关系，根据相等关系设未知数并列出方程。
- 利用等式的性质解方程根据等式的性质，通过加减乘除逐步把方程化为 x = a 的形式，从而求解未知数。
- 将实际问题转化为方程通过分析数量关系、设未知数、找出相等关系来列出方程，把实际问题转化为数学问题。
- 解一元一次方程利用等式性质和运算律，通过移项、化简等步骤将方程化为 x=a 的形式。
- 解一元一次方程的基本流程通过合并同类项、移项、系数化为1等步骤，逐步把方程化为 x = a 的形式。
- 一元一次方程只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程，通常可通过一系列等式变形步骤将其化为 x = a 的形式。
- 未知数用字母表示的、不确定其具体数值的量。
- 方程的解使方程左右两边相等的未知数的值。
- 等式表示两个表达式相等的数学式子，可写成 a = b 的形式。
- 等式的性质1等式两边加或减同一个数（或式子），结果仍相等。
- 等式的性质2等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
- 移项根据等式性质，将方程中某项从方程一边移到另一边，同时改变符号。
- 等式的基本性质等式在加、减、乘、除等运算中保持相等关系不变的性质，包括对称性、传递性、加法性质、乘法性质和除法性质。
- 无限循环小数化分数利用设未知数并通过适当倍乘使循环部分对齐，进而列方程求解，将循环小数转化为分数。
- 去括号利用乘法分配律将括号内的式子展开，以简化方程形式。
- 去分母通过将方程两边乘以分母的最简公分母，使分式方程转化为整式方程的方法。
- 系数化为1通过将方程两边同时除以未知数的系数使其变为1，从而解得未知数。
- 工作量=效率×人数×时间解决工程问题常用的数量关系，可用于建立一元一次方程。
- 配套数量关系在实际问题中，相关物品之间存在固定数量比例，可作为列方程依据。
- 方程建模步骤用一元一次方程解决实际问题一般包括设、列、解、检、答五个步骤。
- 相等关系实际问题中用于列方程的核心依据，表示两个量在特定条件下相等。
第四章 几何图形初步28
- 作角平分线通过折纸或几何作图方法构造角的平分线。
- 拆解与分析立体图形结构通过拆开立体物体并观察其面、棱关系，分析其几何结构和相等关系。
- 通过展开图构建立体图形根据已知展开图进行折叠、拼合，判断图形是否能构成立体形状。
- 长度测量技能使用测量工具（刻度尺、卷尺、卡尺等）测量物体的长度，或用估测方法近似判断。
- 几何图形物体的形状、大小和位置关系的抽象，是数学研究的主要对象之一。
- 立体图形各部分不都在同一平面内的几何图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等。
- 平面图形各部分都在同一平面内的几何图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等。
- 展开图将立体图形的各个面按一定方式在平面上展开而形成的平面图形。
- 点几何中最基本的元素之一，线和线相交的地方是点。
- 线面与面相交形成线，线和线相交形成点；直线、曲线均属于线。
- 面包围体的是面，包括平面与曲面两种。
- 体几何体，由面围成，是立体图形的具体体现。
- 两点确定一条直线经过两点有一条直线，并且只有一条。
- 直线的相交与交点两条不同的直线若有一个公共点，则这两条直线相交，该公共点称为交点。
- 线段比较比较两条线段长短，可用测量或重合比较。
- 线段的加减在同一直线上可以作线段的和与差，如 AC = a + b。
- 线段中点把线段分成相等两部分的点叫做线段的中点。
- 两点之间线段最短连接两点的所有连线中，线段最短。
- 两点的距离连接两点的线段长度叫做两点的距离。
- 角的度量单位（度、分、秒）把一个周角360等分，每一份是1度；1度分为60分；1分分为60秒。
- 角度制以度为单位衡量角的大小，1° 等于周角的 1/360。
- 角的比较通过量角器测量度数或将一条边重合比较另一条边的位置来判断角的大小。
- 角的加法和减法一个角可以表示为两个角的和或差，角的加减需分别对度、分、秒进行运算。
- 角的平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线。
- 余角两个角的和等于90°时，两个角互为余角。
- 补角两个角的和等于180°时，两个角互为补角。
- 长方体的展开图长方体六个面的平面展开组合图，通过折叠可恢复成长方体。
- 平面图形与立体图形的相互转化通过展开、折叠等方式在平面图形与立体图形之间进行结构对应和转换。
七年级下册6 章 · 114 点
第五章 相交线与平行线21
- 利用平移作图根据已知点的平移方向和距离，在图形中作对应点，从而得到平移后的整个图形。
- 利用量角器和直尺进行验证通过测量角度和长度，对图形关系进行检验和推断。
- 将命题改写成如果…那么…形式通过分析命题，将题设和结论分离，并组合成“如果…那么…”的逻辑形式。
- 将新问题转化为已知问题遇到新问题时，将其转化为已知或已解决的问题以便求解。
- 相交线两条直线在同一平面内相交于一点的情形。
- 邻补角有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，且两角互补。
- 对顶角两条直线相交时，位于交点两侧，由两组反向延长线构成的一对角。
- 同位角两条直线被第三条直线所截，位于同一方向且位置对应的角叫同位角。
- 内错角两条直线被第三条直线所截时，位于两直线之间且分别位于截线两侧的一对角。
- 同旁内角两条直线被第三条直线所截，位于两条直线内部并在截线同一侧的角叫同旁内角。
- 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
- 同位角判定平行两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
- 内错角判定平行两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
- 同旁内角判定平行两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
- 平行线的同位角性质两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
- 平行线的内错角性质两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
- 平行线的同旁内角性质两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
- 命题对某一件事情作出判断的语句，由题设和结论两部分组成，可写成“如果…那么…”的形式。
- 真命题与假命题题设成立能保证结论一定成立的命题是真命题；不能保证结论一定成立的命题是假命题。
- 对应点图形平移后，新图形中由原图形某一点移动得到的点，两点互为对应点。
- 平移的性质连接平移前后对应点的线段互相平行（或在同一直线上）且相等。
第六章 实数17
- 使用计算器求立方根利用计算器的立方根功能或第二功能键求一个数的立方根或其近似值。
- 利用计算器求平方根使用计算器的 √ 键求一个数的算术平方根或其近似值。
- 实数近似计算将无理数用有限小数近似，再在所需精度范围内进行计算。
- 算术平方根如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x² = a，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根，记作 √a。
- 平方根如果一个数 x 的平方等于 a，即 x² = a，那么 x 叫做 a 的平方根，可记为 ±√a。
- 被开方数算术平方根符号 √a 中的 a，叫做被开方数。
- 无限不循环小数小数部分无限且不循环的小数。
- 平方与开平方互为逆运算平方运算与开平方运算互相逆，即若 x² = a，则 √a = x（算术平方根）。
- 立方根如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根，即若x^3 = a，则x叫做a的立方根。
- 开立方求一个数的立方根的运算叫做开立方。
- 立方根符号与根指数一个数a的立方根用符号√[3]{a}表示，其中a是被开方数，3是根指数。
- 立方根的符号性质正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，并且√[3]{-a} = -√[3]{a}。
- 立方根的近似值一些数的立方根是无限不循环小数，可用计算器求其近似值。
- 无理数无限不循环小数，不能写成两个整数的比的形式。
- 实数有理数和无理数的统称，与数轴上的点一一对应。
- 平方根与立方根平方根是满足x²=a的数，立方根是满足x³=a的数。
- 实数与数轴的对应每一个实数对应数轴上的唯一一点，数轴上的每一点也对应唯一实数。
第七章 平面直角坐标系14
- 在坐标系中描点根据点的横坐标和纵坐标，在 x 轴和 y 轴上找到对应位置并作垂线，交点即为该点的位置。
- 建立平面直角坐标系根据问题情境选择原点、确定坐标轴方向并设定单位长度。
- 根据坐标绘制位置分布图在坐标平面上根据各点坐标绘制物体分布情况图。
- 有序数对由两个有顺序的数 a 与 b 组成的数对，记作 (a, b)，可用来准确表示一个位置。
- 数轴与点的对应关系数轴上的点与实数一一对应，点的坐标由该点对应的实数确定。
- 平面直角坐标系由两条互相垂直、原点重合的数轴组成的平面坐标系统，水平为 x 轴，竖直为 y 轴。
- 点的坐标在平面直角坐标系中，点可用唯一的有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 为横坐标，y 为纵坐标。
- 象限平面直角坐标系被 x 轴与 y 轴分成的四个部分，称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
- 经纬度坐标利用经度和纬度确定地球上位置的表示方法，构成类似坐标网的系统。
- 点的坐标表示用有序数对(x, y)表示平面内点的位置，对应横坐标和纵坐标。
- 单位长度的确定在建立坐标系时根据问题背景选定坐标轴上单位长度的实际意义。
- 方向和距离表示位置通过给出方向和距离来确定平面内物体相对位置的方法。
- 图形的平移将平面内图形整体沿某个方向移动一定距离，使各点坐标按一定规律变化。
- 点的坐标变化规律（平移）平移改变点的坐标：横坐标加减对应水平平移，纵坐标加减对应竖直平移。
第八章 二元一次方程组18
- 分析数量关系从实际问题文本中找出相关量之间的等量关系，为建立方程提供依据。
- 化归思想通过将复杂问题逐步转化为简单问题来求解，如将三元化为二元、二元化为一元。
- 方程变形根据等式性质，对方程两边同时进行乘法、加法、减法转换，使方程更加便于求解。
- 用方程组解决实际问题将现实问题中的变量未知量化，通过列二元一次方程组求解并结合情境得出最终结论。
- 二元一次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的方程。
- 二元一次方程的解使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值。
- 二元一次方程组由两个含有两个未知数、且每个未知数的项次数都是1的方程组成的方程组。
- 二元一次方程组的解二元一次方程组中两个方程的公共解。
- 消元思想通过把未知数的个数由多化少，逐一解决的一种数学思想。
- 代入法把方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，从而消元的方法。
- 加减法通过将两个方程的两边相加或相减，使某个未知数的系数相等或相反，从而消去该未知数的方法。
- 实际问题中的数量关系在实际情境中，不同量之间存在的可转化为数学表达式的等量关系。
- 列方程组根据实际问题中的数量关系建立二元一次方程组的过程。
- 解的实际意义检验解出方程组后，需要判断所得解是否符合现实条件并能合理解释问题。
- 三元一次方程组含有三个未知数，每个方程中未知数的次数都是1，并且由三个一次方程组成的方程组。
- 消元法通过代入或加减运算，消去方程组中的某个未知数，使多元方程组化为低元方程组的方法。
- 矩阵待审由数按长方阵排成的表，可用于表示方程组的系数。
- 方程的图象二元一次方程的所有解在平面直角坐标系中形成一条直线。
第九章 不等式与不等式组16
- 求不等式组解集先分别求出每个不等式的解集，再求解集的公共部分，可借助数轴表示。
- 求差比较大小法将两个数量相减，通过差的正负判断大小关系的方法。
- 解一元一次不等式通过移项、合并同类项、系数化简等步骤，逐步将不等式化为 x > a 或 x < a 的形式。
- 解一元一次不等式的方法利用不等式的性质，按照与解一元一次方程相类似的步骤，通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将不等式化为 x < a 或 x > a 的形式。
- 不等式用符号“<”“>”“≤”“≥”或“≠”表示两个量之间不等关系的式子称为不等式。
- 不等式的解使不等式成立的未知数的取值称为不等式的解。
- 不等式的解集一个含有未知数的不等式的所有解组成的不等量的集合。
- 不等式的性质1不等式两边加或减同一个数（或式子），不等号方向不变。
- 不等式的性质2不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变。
- 不等式的性质3不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变。
- 一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。
- 不等式的性质包括不等式两边加减同一个数不改变方向、两边乘除同一个正数不改变方向、乘除同一个负数要改变方向等。
- 移项（不等式）将不等式一边的某项变号后移到另一边，方向不变。
- 不等式方向改变规则当不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号方向要改变。
- 一元一次不等式组由若干个关于同一未知数的一次不等式组成，其解集是各不等式解集的公共部分。
- 数轴表示不等式解集利用数轴以图示方式展示不等式或不等式组的解集，使结果更直观。
第十章 数据的收集、整理与描述28
- 整理数据将原始数据按一定方式分类、计算、整理，形成结构化的统计表或统计量。
- 根据散点趋势作估计利用散点图并画出趋势线以预测未来数据。
- 根据数据绘制频数分布直方图通过选择适当组距、分组、列频数分布表，再根据频数绘制直方图的能力。
- 绘制统计图根据整理后的数据绘制条形图、扇形图等，以便直观展示信息。
- 选择合适的统计图根据数据特点和表达目的在条形图、折线图、扇形图、直方图中选择最能反映信息的图形。
- 统计调查为了解某一现象或问题，通过收集、整理、分析数据而进行的调查活动。
- 调查问卷用于收集调查对象相关信息的工具，常通过问题和选项获取数据。
- 数据调查中收集到的能够反映研究对象特征的数字或记录。
- 划记法用正字等符号记录出现次数的统计记录方法，每一划代表一个数据。
- 频数统计表使用表格整理数据，展示项目及其出现次数和百分比的统计表。
- 条形图用长短不同的条形表示各类数据数量大小的统计图。
- 扇形图用圆的扇形面积比例表示各部分占总体百分比的统计图。
- 全面调查对总体中全部对象进行调查的方法，数据全面、准确但耗时高。
- 抽样调查从总体中抽取一部分个体进行调查，并以样本推断总体情况的方法。
- 样本的代表性样本在特征上能够反映总体特征的程度，决定推断的准确性。
- 标记重捕法（估计总体数量）通过对样本进行标记、放回、重捕并利用比例关系估计总体数量的方法。
- 直方图以小长方形的面积反映各组数据频数大小的统计图，横轴表示数据取值范围，纵轴表示频数与组距的比值。
- 组距将数据进行分组时，每组两个端点之间的距离称为组距。
- 组数将数据分成若干组后得到的组的总数。
- 频数数据落在某一组内的个数称为频数。
- 频数分布表将各组区间及其对应的频数整理在表中的统计表格。
- 等距分组所有组的组距相同的数据分组方式。
- 频数与组距的比值在直方图中小长方形的高，用频数除以组距得到。
- 水资源分布地球水资源由大气水、地表水和地下水构成，地表水中海洋水占比超过96.53%，淡水仅占2.53%，可利用淡水不到1%。
- 水资源短缺由于人口增长、水污染、浪费等因素造成淡水不足，人均水资源量低于一定标准即面临水危机。
- 统计图的类型包括条形图、扇形图、折线图和直方图，用于从不同侧面描述数据。
- 简单随机抽样从总体中逐个、等可能地抽取样本的随机方式，每个个体被抽中的概率相同。
- 数据平均数反映一组数据集中趋势的统计量。
八年级上册5 章 · 94 点
第十一章 三角形24
- 利用平行线性质进行推理在几何证明中，通过作辅助线使其与图中某边平行，从而利用同位角、内错角等性质进行角度推理。
- 将多边形分割成三角形的方法通过作对角线将多边形分割为若干三角形，以便利用三角形性质推导多边形性质。
- 三角形的边构成三角形的三条线段，如AB、BC、CA。
- 三角形的顶点三条边的公共端点，如A、B、C。
- 三角形的内角相邻两边组成的角，称为三角形的角。
- 不等边三角形三边都不相等的三角形。
- 三角形按边分类按边相等关系可分为：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。
- 三角形的高从一个顶点向其对边所在直线作垂线所得的线段。
- 三角形的中线连接一个顶点与其对边中点的线段。
- 三角形的重心三角形三条中线的交点。
- 角平分线将一个角平分的射线或线段，在三角形中连接顶点与对边交点形成角平分线。
- 三角形不等式三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
- 三角形的内角和定理任意一个三角形的三个内角的和等于180°。
- 三角形的外角三角形的一边与另一边的延长线所组成的角称为三角形的外角。
- 三角形外角性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
- 多边形在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形。
- n 边形由 n 条线段首尾相接组成的多边形。
- 多边形的内角多边形相邻两边组成的角。
- 多边形的外角多边形的一边与其邻边的延长线组成的角。
- 多边形的对角线连接多边形不相邻两个顶点的线段。
- 凸多边形画出其任意一条边所在直线，多边形整体都在直线同一侧的多边形。
- 正多边形各边相等、各角也相等的多边形。
- 多边形内角和公式n 边形的内角和等于 (n − 2) × 180°。
- 多边形外角和多边形所有外角的和恒为 360°。
第十二章 全等三角形16
- 作角的平分线的方法利用以角的顶点为圆心作弧、再以交点作弧的方法作出角的平分线。
- 几何证明的一般步骤明确已知和求证、画图并标明、分析推理、写出证明过程。
- 利用全等三角形证明线段或角相等通过构造或发现全等三角形，利用对应边相等等性质证明线段或角相等。
- 全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形，形状和大小都相同。
- 全等三角形对应边分别相等、对应角分别相等的两个三角形称为全等三角形。
- 平移、翻折、旋转的保形性图形经过平移、翻折、旋转后，位置改变，但形状和大小保持不变。
- 对应顶点、对应边、对应角两个全等三角形重合时，重合的顶点、边和角分别称为对应顶点、对应边和对应角。
- 全等三角形的性质两个三角形全等时，它们的对应边、对应角都相等。
- SSS判定法三边分别相等的两个三角形全等。
- SAS判定法两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
- ASA判定法两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
- AAS判定法两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
- HL判定法斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
- 角的平分线的性质（点到角两边距离相等）角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
- 到角两边距离相等的点的性质角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
- 三角形的角平分线交点性质三角形三条角平分线交于一点，该点到三边距离相等。
第十三章 轴对称21
- 作图形的轴对称图形通过作图或计算特殊点的对称点，并连接这些点，得到原图形的对称图形。
- 利用全等三角形进行证明通过构造或识别全等三角形，推导角、边或线段的相等关系。
- 利用轴对称研究图形性质通过折叠、对称操作，将几何量转化为可比较的相等关系，以分析边角关系。
- 尺规作图：作线段的垂直平分线利用两端点为圆心、相同半径作弧相交的方法作出线段的垂直平分线。
- 通过图形变换转化几何问题利用轴对称、平移等保持长度不变的几何变换，将复杂的几何情境转化为标准、易解的模型。
- 对称点两个关于同一对称中心对称的点，其连线经过对称中心且被对称中心平分。
- 垂直平分线经过线段中点并且垂直于该线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。
- 垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；反之，与两端点距离相等的点在这条垂直平分线上。
- 点关于直线的对称点一个点到某直线作垂线，并在垂线上取该点到该直线的等距离点，该点即为原点的对称点。
- 点关于x轴的对称坐标点(x, y) 关于 x 轴对称的点坐标为 (x, -y)。
- 点关于y轴的对称坐标点(x, y) 关于 y 轴对称的点坐标为 (-x, y)。
- 等腰三角形的性质1（等边对等角）在等腰三角形中，两条相等的边所对的两个底角相等。
- 等腰三角形的性质2（三线合一）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一。
- 等腰三角形的判定（等角对等边）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
- 等边三角形的性质等边三角形三个内角都相等，每个角均为60°。
- 三角形中边与角的不等关系在三角形中，大边所对的角较大；反之，大角所对的边较大。
- 30°直角三角形性质在直角三角形中，如果一个锐角为30°，则其对边等于斜边的一半。
- 最短路径问题在给定约束条件下寻找两点之间路径长度最小的问题，常借助几何性质或图形变换转化为已知可解的问题。
- 轴对称如果一个图形绕某条直线对折后能够与自身重合，则称该图形关于这条直线轴对称。
- 轴对称在最短路径中的应用利用轴对称保持对应线段长度不变，将两点同侧情形转化为异侧情形以求最短路径。
- 平移在最短路径中的应用利用平移保持线段长度不变，将跨越平行线的最短路径问题转化为经典两点间最短路径问题。
第十四章 整式的乘法与因式分解14
- 利用乘法交换律和结合律进行整式化简在整式的乘法中，通过交换因式顺序或重新组合因式，使表达式便于应用幂的运算性质进行化简。
- 识别多项式结构进行因式分解根据多项式结构判断应使用提公因式法、平方差公式、完全平方公式或 x^2+(p+q)x+pq 型方法进行分解。
- 识别特殊形式的多项式乘法根据多项式结构判断是否符合平方差公式或完全平方公式，从而简化运算。
- 同底数幂的乘法同底数的幂相乘时，底数不变，指数相加，即 a^m · a^n = a^(m+n)（m,n 为正整数）。
- 幂的乘方一个幂再乘方时，底数不变，指数相乘，即 (a^m)^n = a^(mn)（m,n 为正整数）。
- 积的乘方一个积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘，即 (ab)^n = a^n b^n。
- 单项式乘法单项式与单项式相乘时，系数相乘，同底数幂分别相乘，只在一个单项式中出现的字母保持不变。
- 平方差公式形如 (a + b)(a - b) 的多项式相乘，可直接写为 a^2 - b^2。
- 完全平方公式形如 (a ± b)^2 的多项式相乘，可写成 a^2 ± 2ab + b^2。
- 杨辉三角由边界为1、内部数为其上方左右两数之和构成的三角形，可用于确定 (a+b)^n 展开式中的二项式系数。
- 因式分解把一个多项式化为几个整式相乘的形式的变形过程，与整式乘法方向相反。
- 公因式多项式各项中共同含有的因式。
- 提公因式法将多项式各项的公因式提取出来，把多项式写成公因式与另一个因式的乘积的方法。
- x^2 + (p+q)x + pq 型因式分解利用公式 x^2 + (p+q)x + pq = (x+p)(x+q) 进行分解的方法。
第十五章 分式19
- 因式分解与约分在分式的乘除和加减中，通过分解分子分母的多项式并约去公因式以化简分式。
- 整式分解因式将多项式写成若干因式的乘积形式，以便进行约分或通分。
- 解分式方程的一般方法先求最简公分母并去分母，将分式方程变形为整式方程，再解整式方程并检验所得解是否使原分母为0。
- 分式形如 A/B 且 A、B 为整式，并且 B 中含有字母的代数式称为分式。
- 分式的意义条件（分母不为0）分式 A/B 中 B 不能为0，当 B≠0 时分式才有意义。
- 分式的基本性质分式 A/B 的分子和分母同时乘或除以同一个不等于0的整式C，分式的值不变。
- 分式的约分利用分式的基本性质，约去分子与分母的公因式，使分式化为最简分式。
- 最简分式分式的分子与分母没有公因式的分式。
- 分式的通分将几个异分母的分式化为同分母的分式，通常取分母因式最高次幂积为最简公分母。
- 分式的乘法法则分式乘以分式时，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
- 分式的除法法则分式除以分式，把除式分子与分母颠倒位置后与被除式相乘。
- 分式的加减法法则同分母分式相加减分母不变；异分母分式需先通分再加减。
- 分式的乘方法则分式乘方时分子分母分别乘方。
- 整数指数幂及其运算性质整数指数幂包括正整数指数、零指数与负整数指数，并满足幂的运算性质。
- 负整数指数幂当 a≠0 时，a^{-n} = 1/a^n，用于扩展指数的定义。
- 分式方程分母中含有未知数的方程称为分式方程。
- 整式方程未知数不在分母中出现的方程称为整式方程。
- 最简公分母能同时整除各分母的最小多项式，用于去分母。
- 分式方程的检验将所得解代入分式方程的最简公分母，确认其不为0，从而判断解是否为原方程的解。
八年级下册5 章 · 92 点
第十六章 二次根式13
- 二次根式化简利用乘法与除法法则，将根式化为最简二次根式，并去除分母中的根号。
- 化成最简二次根式将根号内的数分解因数，把能开平方的部分提出根号，使根式化为最简形式。
- 检验二次根式的定义域判断二次根式 √f(x) 在实数范围内是否有意义，需要检验 f(x) ≥ 0。
- 二次根式形如 √a (a ≥ 0) 的式子称为二次根式，“√”称为二次根号。
- 二次根式有意义的条件二次根式 √a 在实数范围内有意义，当且仅当被开方数 a ≥ 0。
- (√a)^2 = a对于所有 a ≥ 0，有 (√a)^2 = a。
- √(a^2) = a当 a ≥ 0 时，√(a^2) = a。
- 代数式用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子称为代数式。
- 二次根式的乘法法则对非负实数 a、b，有 √a · √b = √(ab)。
- 二次根式的除法法则对非负实数 a、正实数 b，有 √a / √b = √(a/b)。
- 最简二次根式满足被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
- 二次根式的加减法将二次根式化为最简形式后，合并被开方数相同的二次根式。
- 海伦-秦九韶公式三角形三边为a,b,c，p=(a+b+c)/2，其面积 S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)]。
第十七章 勾股定理12
- 利用勾股定理计算线段长度在直角三角形模型中，通过a² + b² 或 c² - a² 求未知边长。
- 利用平方关系判定直角三角形根据较小两边的平方和与最大边平方的比较，判断三角形是否为直角三角形。
- 在数轴上表示根号数利用构造直角三角形并应用勾股定理，作出长度为√n的线段，从而在数轴上确定表示√n的点。
- 构造全等三角形证明几何命题通过构造一个满足条件的辅助三角形，并证明与原三角形全等，从而推出角或边的性质。
- 勾股定理在直角三角形中，若两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则有a² + b² = c²。
- 等腰直角三角形有两个直角边相等的直角三角形，满足斜边平方等于两直角边平方和。
- 赵爽弦图中国古代数学家赵爽利用四个全等直角三角形拼成大正方形，并以中间小正方形的面积关系给出的勾股定理证明方法。
- 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a, b, c 满足 a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形。
- 逆命题将“若 p，则 q”中的 p 与 q 交换得到的命题“若 q，则 p”。
- 互逆命题两个命题互相是对方的逆命题，且可能同时成立也可能不同时成立。
- 勾股数能够作为直角三角形三边长的三个正整数，满足 a^2 + b^2 = c^2。
- 费马大定理当自然数 n ≥ 3 时，方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
第十八章 平行四边形23
- 从一般到特殊的研究方法通过研究一般四边形（如平行四边形）的性质，再研究其特殊形式（矩形、菱形、正方形）。
- 利用三角形全等证明图形性质通过构造辅助线，使两个三角形全等，从而证明线段或角相等。
- 平行四边形的性质：对边相等平行四边形的两组对边分别相等。
- 平行四边形的性质：对角相等平行四边形的对角相等。
- 平行四边形的性质：对角线互相平分平行四边形的两条对角线互相平分。
- 平行线之间的距离一条平行线上的任意一点到另一条平行线的距离，都等于两条平行线之间的距离。
- 平行四边形的判定（对边相等）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
- 平行四边形的判定（对角相等）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
- 平行四边形的判定（对角线互相平分）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么它是平行四边形。
- 平行四边形的判定（一组对边平行且相等）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
- 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
- 矩形有一个角为直角的平行四边形。
- 矩形性质：四角为直角矩形的四个角都是直角。
- 矩形性质：对角线相等矩形的两条对角线相等。
- 矩形判定：对角线相等的平行四边形是矩形若平行四边形的两条对角线相等，则该平行四边形为矩形。
- 矩形判定：三个角是直角的四边形是矩形若一个四边形有三个角为直角，则它是矩形。
- 直角三角形斜边中线定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
- 菱形一组邻边相等的平行四边形。
- 菱形性质：四条边都相等菱形的四条边均相等。
- 菱形性质：对角线垂直且平分对角菱形的两条对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。
- 菱形判定：对角线垂直的平行四边形是菱形若平行四边形的对角线互相垂直，则该平行四边形是菱形。
- 菱形判定：四条边相等的四边形是菱形若四边形四条边都相等，则它是菱形。
- 正方形性质：对角线相等且垂直平分正方形的对角线相等且互相垂直平分。
第十九章 一次函数26
- 两点法作一次函数图象利用“确定两点即可确定一条直线”的方法绘制一次函数或正比例函数的图象。
- 利用函数图象进行比较分析通过观察函数图象的交点、斜率、增减性来判断大小关系或选择最优方案。
- 描点法画函数图象通过列表计算自变量与函数值，描点并平滑连线得到函数图象。
- 数形结合思想利用复数与向量、三角形式之间的对应关系，从几何角度理解运算与性质。
- 构建函数模型根据实际问题中变量的依赖关系，将其转化为函数解析式，用于求解最优方案或回答相关问题。
- 变量对调查对象所研究的指标，由于不同调查对象的指标值往往不同，是一个变化的量，称为变量。
- 常量在变化过程中数值保持不变的量。
- 自变量在对应关系中，可以自由取值的变量，对于自变量的每个确定值，另一变量有唯一确定值与其对应。
- 函数如果两个变量 x 与 y 之间，对于 x 的每一个确定值，y 都有唯一确定值与其对应，则称 y 是 x 的函数。
- 函数值当自变量取某一确定值时，函数所对应的值。
- 函数的解析式用关于自变量的式子表示函数与自变量关系的表达式。
- 函数的图象把自变量与函数值的对应作为点的横、纵坐标绘制在平面直角坐标系中形成的图形。
- 半衰期放射性物质的质量减少到原来一半所需的时间。
- 正比例函数形如 y = kx（k 是常数且 k ≠ 0）的函数，称为正比例函数，其中 k 叫做比例系数。
- 比例系数正比例函数 y = kx 中的常数 k 称为比例系数。
- 一次函数形如 y = kx + b（k ≠ 0）的函数，图象为一条直线，是最基本的函数模型之一。
- 一次函数的图象一次函数 y = kx + b 的图象是一条直线，可由直线 y = kx 经过平移得到。
- 直线平移与一次函数关系一次函数 y = kx + b 的图象可由 y = kx 向上或向下平移 |b| 个单位长度得到。
- 一次函数的增减性当 k > 0 时，y 随 x 的增大而增大；当 k < 0 时，y 随 x 的增大而减小。
- 函数与方程的关系解一元一次方程 ax + b = 0 等价于求一次函数 y = ax + b 的函数值为 0 时的自变量 x。
- 函数与不等式的关系解一元一次不等式 ax + b > 0 或 ax + b < 0 等价于求一次函数 y = ax + b 的函数值大于或小于 0 时的自变量 x 的范围。
- 二元一次方程组的图象意义含有 x、y 的二元一次方程可改写为 y = kx + b，对应一条直线；方程组的解是两条直线的交点坐标。
- 变量与函数关系在一个变化过程中，每当自变量取一个定值时，另一个变量有唯一确定的值与其对应，这种对应关系称为函数。
- 函数图象的增减性通过观察一次函数图象判断随自变量变化函数值增大或减小的性质。当 k>0 时函数递增，k<0 时函数递减。
- 函数建模根据实际情境中变量间的关系，选取自变量并建立能反映该关系的函数解析式作为数学模型。
- 分段函数根据变量取值范围不同由不同表达式构成的函数，例如上网收费问题中的收费函数。
第二十章 数据的分析18
- 使用统计量刻画数据波动根据数据特征选择适当的统计量（如方差、极差、平均差、标准差）描述其波动程度，并根据结果进行比较和判断。
- 分析数据基于统计图表及计算得到的统计量，得出结论或进行推断。
- 描述数据使用统计图表或数字特征呈现数据的分布与特点。
- 加权平均数对不同重要程度的数据赋予权后，按权重加权得到的平均数。
- 权表示各项数据重要程度的数值。
- 组中值数据分组后，每个小组的两个端点数的平均数，用于代表该组的实际数据。
- 中位数将数据按大小排序后，位于中间的位置的数据。如果数据个数为偶数，则取中间两个数据的平均数。
- 众数数据中出现次数最多的数值，是集中趋势的度量之一。
- 数据的波动程度描述一组数据围绕其平均数分散或集中的程度，可通过多个统计量进行度量，如方差、极差、平均差、标准差等。
- 方差一组数据与其平均数的差的平方的平均数，用来度量数据的波动程度。方差越大，波动越大；方差越小，波动越小。
- 极差一组数据中最大值与最小值的差，用来刻画数据的总体取值范围。
- 平均差各数据与其平均数的绝对差的平均数，用于度量数据的波动程度。
- 标准差方差的平方根，与原始数据单位相同，常用于度量数据的波动程度。
- 样本从总体中抽取的一部分个体，用于估计总体的特征。
- 总体统计研究中所关心的全部调查对象的集合。
- 集中趋势的度量用以描述数据集中位置的统计量，包括平均数、中位数和众数。
- 统计图表用图形方式呈现数据分布和特征的工具，包括条形图、折线图、扇形图和直方图等。
- 用样本估计总体通过对样本数据的处理，推断总体的某些特征，是统计的基本思想。
九年级上册5 章 · 101 点
第二十一章 一元二次方程18
- 化简与整理方程通过去括号、移项、合并同类项等操作将方程化为标准形式。
- 将二次方程降次通过配方、因式分解或其他代数操作，把二次方程转化为一次方程或一次方程组来解。
- 建立数学模型根据实际问题中数量关系，设未知数并列出相应的一元二次方程来求解。
- 一元二次方程含有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，常写作 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)。
- 一元二次方程的一般形式一元二次方程可写成 ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的形式。
- 二次项系数一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 中二次项 ax^2 的系数 a。
- 一次项系数一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 中一次项 bx 的系数 b。
- 常数项一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 中的常数 c。
- 方程的根（解）使方程左右两边相等的未知数的值。
- 配方法通过将一元二次方程配成完全平方形式，从而把二次方程降为一次方程来求根的方法。
- 完全平方式形如 (x+n)^2 的代数形式，可用于将二次方程降次。
- 求根公式一元二次方程 ax^2+bx+c=0 的根可由公式 x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a) 求得。
- 判别式一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的判别式 Δ = b^2 - 4ac，用于判断方程根的情况。
- 因式分解法将 ax² + bx + c 分解为两个一次因式的乘积，并令每个因式为0求根的方法。
- 根与系数的关系一元二次方程 ax^2+bx+c=0 的两个根满足 x1 + x2 = -b/a，x1 x2 = c/a。
- 黄金分割数由方程 x^2 + x - 1 = 0 的正根得到的数值 (√5 - 1)/2 ≈ 0.618。
- 公式法（求根公式）利用 x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a) 求解 ax² + bx + c = 0 的方法。
- 降次思想通过配方、因式分解等方法，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的思想。
第二十二章 二次函数19
- 利用二次函数图象估计方程的根通过观察二次函数图象与 x 轴的交点（或函数值变化的符号），估计一元二次方程实数根所在的区间或近似值。
- 利用二次函数求最值利用顶点公式 x = -b/(2a) 和函数最大最小值性质求最值。
- 利用取平均数法逐步缩小根的范围通过在区间中点计算函数值并比较符号，不断缩小方程根所在区间，从而得到根的近似值。
- 建立二次函数解析式根据实际情境中的数据或数量关系，将变量关系转化为二次函数表达式。
- 待定系数法求二次函数解析式根据给定的三个点列三元一次方程组求 a,b,c。
- 二次函数形如 y = ax^2 + bx + c (a≠0) 的函数，x 为自变量，a、b、c 为常数。
- 二次函数 y = ax^2 的图象二次函数 y = ax^2 的图象是一条以原点为顶点、y轴为对称轴的抛物线。
- 抛物线平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过F）的距离相等的点的轨迹。
- 顶点抛物线与对称轴的交点，是抛物线的最高点或最低点。
- 二次函数 y = a(x - h)^2 + k由基本抛物线 y = ax^2 经过平移得到的通式形式，对称轴为 x=h，顶点为 (h, k)。
- 二次函数图象平移通过竖直和水平平移，将 y=ax^2 转换为 y=a(x-h)^2+k 的图象。
- 二次函数顶点式y = a(x - h)^2 + k，其顶点为 (h, k)，便于分析图象性质。
- 二次函数一般式y = ax^2 + bx + c，可通过配方法转化为顶点式。
- 二次函数的顶点坐标公式一般式 y=ax^2+bx+c 的对称轴为 x=-b/(2a)，顶点为 (-b/(2a), (4ac-b^2)/(4a))。
- 二次函数与一元二次方程的联系二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点横坐标就是方程 ax^2 + bx + c = 0 的实数根；反之，求方程的根也可以转化为求
- 二次函数图象与 x 轴的位置关系二次函数图象与 x 轴可能没有公共点、有一个公共点或有两个公共点，对应方程无实根、有两个相等的实根、有两个不等的实根。
- 二次函数的最大值与最小值当 a < 0 时函数取得最大值，当 a > 0 时取得最小值，发生在顶点处。
- 二次函数模型用形如 y = ax^2 + bx + c 的函数来刻画实际问题中变量之间关系的数学模型。
- 抛物线及其顶点二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图象为抛物线，顶点是其最高点或最低点。
第二十三章 旋转14
- 作图：作点关于中心的对称点连接已知点与对称中心，在该线段延长线上截取相等长度得到对称点。
- 利用几何变换进行图案设计通过平移、轴对称、旋转或它们的组合设计具有规律性和美感的图案。
- 确定图形旋转后的对应点根据旋转中心、旋转角和全等关系确定图形中各点旋转后的具体位置。
- 图形的旋转把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。
- 旋转角图形绕旋转中心转动时转过的角叫做旋转角。
- 对应点（旋转）图形上某点经过旋转后得到的新位置与原点互为对应点。
- 中心对称把一个图形绕某一点旋转180°，若能与另一个图形（或自身）重合，则称两个图形关于该点中心对称，该点叫做对称中心。
- 对称中心中心对称中使图形旋转180°后重合的那个点。
- 中心对称的性质中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心且被其平分，并且两个图形全等。
- 中心对称图形如果一个图形绕某点旋转180°后能与原图形重合，则该图形为中心对称图形。
- 关于原点对称的点的坐标两个点关于原点对称时，其坐标符号相反，即 P(x,y) 的对称点为 P′(-x,-y)。
- 旋转对称一个图形绕某点旋转一定角度后能与原图形重合，则称该图形具有旋转对称性。
- 点的轴对称坐标变换点A(x, y)关于x轴、y轴或其他直线对称后所得点的坐标变化关系。
- 点的旋转坐标变换点P(x, y)绕原点旋转不同角度后所得点的坐标变化。
第二十四章 圆34
- 几何对称性分析方法利用折叠、对称、旋转等方式分析图形性质，如证明圆的对称性或推导角与弧的关系。
- 利用正多边形性质求几何量通过中心角、边心距、半径等量之间的关系求周长、面积和边长。
- 反证法假设要证明的命题不成立，通过推理得出矛盾，从而说明假设不正确，原命题成立。
- 类比推理利用已知相关结论，通过类比获得新的结论或公式。
- 圆心画圆时固定端点O称为圆心。
- 半径从圆心到圆上任意一点的线段称为半径。
- 弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
- 直径经过圆心的弦叫做直径。
- 弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧。
- 等圆 与 等弧能够互相重合的两个圆叫等圆；同圆或等圆中能互相重合的弧叫等弧。
- 圆的轴对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
- 垂径定理垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
- 圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫圆周角。
- 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
- 圆内接四边形所有顶点都在同一圆上的四边形叫做圆内接四边形。
- 圆内接四边形对角互补圆内接四边形的对角之和等于180°。
- 点和圆的位置关系根据点到圆心的距离 d 与半径 r 的比较，判断点在圆外、圆上或圆内。
- 直线和圆的位置关系根据直线与圆的公共点个数不同，可分为相交、相切、相离三种情况。
- 圆的切线与圆只有一个公共点的直线，该点为切点。
- 切线的判定定理经过圆的半径外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。
- 切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径。
- 切线长定理从圆外一点引出的两条切线的切线长相等，该点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。
- 三角形的外接圆与外心经过三角形三个顶点的圆称为外接圆，其圆心为三边垂直平分线的交点。
- 三角形的内切圆与内心与三边都相切的圆为内切圆，其圆心为三条角平分线的交点。
- 圆和圆的位置关系根据两圆圆心距 d 与半径 r1、r2 的大小关系，可分为外离、外切、相交、内切、内含。
- 正多边形的外接圆能使正多边形的所有顶点都在圆上的圆。
- 正多边形的中心、半径、中心角、边心距正多边形外接圆的圆心是其中心，外接圆半径是其半径，每边所对应的圆心角是中心角，中心到边的距离为边心距。
- 圆周率 π圆的周长与直径的比值，是无理数，约为3.141592653589793…
- 圆内接正多边形逼近圆周方法通过不断增加圆内接正多边形的边数，使其周长逼近圆的周长。
- 弧长弧长是圆周上由圆心角所截取的一段弧的长度，可视为圆周长的相应比例。
- 扇形面积扇形面积是圆面积按圆心角占360°的比例分得的部分，也可用扇形弧长表示。
- 圆锥侧面积圆锥的侧面积等于其母线长度为半径、底面圆周为弧长的扇形面积。
- 四点共圆条件如果一个四边形的对角之和为180°，则其四个顶点共圆。
第二十五章 概率初步16
- 列表法列举结果通过构造列表、表格等方式完整、不重不漏地列举试验所有可能结果。
- 等可能情形下的概率计算统计事件包含的结果数并与全部等可能结果数比较，求概率。
- 通过重复试验估计概率通过多次重复同一随机试验，记录事件发生次数，计算频率并观察其是否稳定于某一数值，从而估计事件的概率。
- 随机事件样本空间的子集称为随机事件，当样本点属于该子集时事件发生。
- 必然事件样本空间Ω本身，必然发生的事件。
- 确定性事件必然事件和不可能事件的统称。
- 概率刻画随机事件发生可能性大小的数值，记为 P(A)。
- 等可能试验一次试验中结果有限且所有结果出现的可能性相等的试验。
- 概率公式 P(A)=m/n当试验中共有 n 个等可能结果，事件 A 包含 m 个结果时，P(A)=m/n。
- 列举法求概率在试验可能结果有限且出现可能性相等时，通过列举所有可能结果，计算事件发生概率的方法。
- 随机试验对随机现象的实现和观察称为随机试验，具有可重复、结果明确且不可预知等特点。
- 事件概率事件发生的可能性大小，等可能情形下为有利结果数与所有可能结果数的比值。
- 小概率事件在一次或有限次试验中几乎不会发生的事件，概率接近0。
- 频率在 n 次试验中某事件出现 m 次时，比值 m/n 称为该事件的频率。
- 用频率估计概率通过大量重复试验，利用事件出现的频率的稳定性估计该事件的概率。
- 几何概率当试验结果在区域内各点等可能出现时，事件概率可用相关区域面积比表示。
九年级下册4 章 · 56 点
第二十六章 反比例函数13
- 建立反比例函数模型解决问题根据实际情景中两个量的关系，判断是否符合 x·y = k，并建立 y=k/x 型模型解决问题。
- 描点作图法通过列表取值计算若干对自变量和函数值的对应点，并在坐标系中描点后用平滑曲线连接，得到函数图象。
- 反比例函数形如 y = k/x (k 为常数且 k ≠ 0) 的函数称为反比例函数，其中 x 为自变量，y 为函数值，x 的取值范围为不等于 0 的一切实数。
- 反比例函数的图象反比例函数 y = k/x 的图象由两条曲线组成，是双曲线。
- 反比例函数的性质（k>0）当 k>0 时，图象位于第一、第三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。
- 反比例函数的性质（k<0）当 k<0 时，图象位于第二、第四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。
- 反比例函数的对称性反比例函数 y = k/x 的图象关于直线 y = x 和 y = -x 对称。
- 反比例关系两个量的乘积保持不变，其中一个量增大时，另一个量按比例减小。
- 杠杆原理阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂，当关系保持不变时动力与动力臂成反比例关系。
- 压强与受力面积的关系当压力一定时，压强与受力面积成反比例关系。
- 气体压强与体积的关系温度一定时，气体压强与体积成反比例关系。
- 速度、功率与阻力的关系当功率一定时，行驶速度与所受阻力成反比例关系。
- 反比例函数系数 k 的几何意义
第二十七章 相似14
- 判断图形是否相似通过观察图形的形状是否相同，以及是否能够通过按比例放大或缩小获得，从而判断两个图形是否相似。
- 利用相似三角形进行比例推理利用相似三角形的对应边比例关系求解未知长度、面积等量。
- 相似图形形状相同的图形称为相似图形，一个图形可以看作由另一个通过放大或缩小得到。
- 图形的放大与缩小将一个图形按比例放大或缩小得到另一个图形的过程，常出现在电影放映、复印等情境中。
- 相似三角形对应角相等、对应边成比例的两个三角形称为相似三角形，可记作 △ABC ∼ △A'B'C'。
- 平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
- 三角形相似判定：平行截线法平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
- 三角形相似判定：三边成比例（SSS）如果两个三角形的三边成比例，则两个三角形相似。
- 三角形相似判定：两边及夹角（SAS）如果两边成比例且夹角相等，则两个三角形相似。
- 直角三角形相似判定（HL 比例）若两个直角三角形斜边和一条直角边成比例，则两个直角三角形相似。
- 相似三角形的性质：对应线段成比例相似三角形对应的高、中线、角平分线等线段的比等于相似比。
- 相似三角形的面积关系相似三角形的面积比等于相似比的平方。
- 分形图形具有自相似性的图形，即局部与整体在一定程度上相似。
- 自相似性图形的一部分与整体具有相似关系的性质。
第二十八章 锐角三角函数11
- 利用相似三角形证明边比恒定通过判定直角三角形相似，证明锐角确定时对应边的比保持不变。
- 化曲为直、化整为零思想将曲线或复杂形状分割为小段近似为直线，通过累加得到整体结果。
- 实际问题的几何抽象将现实情境转化为直角三角形或几何模型以便计算。
- 正弦在直角三角形中，锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦。
- 余弦在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦。
- 正切在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切。
- 锐角三角函数在直角三角形中，锐角的对边比斜边、邻边比斜边或对边比邻边的比值。
- 特殊角三角函数值30°、45°、60°的正弦、余弦、正切具有固定值。
- 解直角三角形已知直角三角形中的部分元素，利用边角关系求出其他未知元素的过程。
- 直角三角形的五个元素除直角外的三条边与两个锐角，共五个元素。
- 两锐角互余直角三角形中两个锐角的和为90°。
第二十九章 投影与视图18
- 判断物体与投影面的空间位置关系能够辨别物体（线段、平面、立体）相对于投影面的平行、倾斜或垂直位置，并据此推断正投影的形状。
- 由三视图想象立体图形综合前、上、侧三个视图的信息，通过空间想象能力推断立体图形的形状。
- 由展开图制作立体模型根据展开图的结构，将平面图形剪裁、折叠、粘贴成对应的立体图形。
- 画三视图的方法确定主视图位置并绘制；在主视图正下方画俯视图并保持长对正；在主视图右侧画左视图并保持高平齐与宽相等；必要时绘制对称轴。
- 投影用光线照射物体，在某个平面上形成的影子称为物体的投影。
- 投影线照射物体并形成投影的光线称为投影线。
- 投影面形成投影的所在平面称为投影面，如地面或墙壁。
- 平行投影投影线彼此平行的投影方式，常用于得到立体图形的直观图。
- 中心投影从同一点（点光源）发出的光线形成的投影。
- 正投影投影线与投影面垂直的投影方式，是形成三视图的基础。
- 视图从某一方向观察物体时所看到的平面图形，是物体在该方向光线下的正投影。
- 三视图用正投影方法分别从物体的前、上、左三个方向得到的三个视图，用以表示立体图形的形状和结构。
- 主视图在正面投影面上由前向后观察物体得到的视图，可表示物体的长和高。
- 俯视图在水平面上由上向下观察物体得到的视图，可表示物体的长和宽。
- 左视图在侧面上由左向右观察物体得到的视图，可表示物体的高和宽。
- 长对正、高平齐、宽相等绘制三视图时三个视图之间必须满足的对应关系：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，左视图与俯视图宽相等。
- 立体图形与平面图形的转化通过观察三视图或展开图，想象并构建对应的立体模型的过程，也包括由实物画出三视图或展开图。
- 中心投影与平行投影中心投影是投影线过同一点的投影方式；平行投影是投影线互相平行的投影方式。